Identidades Trigonométricas📐

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran el uso y conocimiento de las funciones trigonométricas. Su principal función es la de simplificar las funciones trigonométricas a una forma mas sencilla para su evaluación. De igual manera nos permiten el planteamiento de una expresión en diferentes formas. 

Normalmente para la simplificación de expresiones algebraicas utilizamos la factorización, denominadores comunes, entre otros métodos. Pero para simplificar expresiones trigonométricas se utilizan estos métodos más las identidades trigonométricas.

Identidades Trigonométricas Recíprocas

Las identidades recíprocas se calculan utilizando el siguiente principio: el recíproco de un número x no nulo es igual ¹⁄_x  es decir, es aquel número que multiplicado por el número original da como resultado 1.

Identidades Trigonométricas de Cociente

Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tan y cot. Tienen la propiedad de relacionar, por medio de un cociente, las funciones trigonométricas sen y cos.

Identidades Trigonométricas Pitagóricas

Las identidades trigonométricas pitagóricas son las de uso más común y se obtienen al aplicar el Teorema de Pitágoras a las definiciones de las funciones trigonométricas. Son tres identidades y se cumplen para cualquier valor del ángulo x.

Ejemplo General:

Funciones Inversas 📐

Funciones inversas

Las funciones f y g son funciones inversas si f ( g ( x )) = x para todas las x en el dominio de g y g ( f ( x )) = x para todas las x en el dominio de f .

La inversa de una función f es usualmente denotada por f  –1  y se lee “ f inversa.” (Dese cuenta que el superíndice –1 en f  –1   no es un exponente).

Suponga que dos funciones son inversas.       Si ( a , b ) es un punto en la gráfica de la función original, entonces el punto ( b, a ) debe ser un punto en la gráfica de la función inversa. Las gráficas son imágenes espejo una de otra con respecto a la recta y = x .

➕➖

Ejemplo:

Digamos que h ( x ) = x 3 + 4

Reemplace h ( x ) con y e intercambie x y y:

y = x 3 + 4

x = y 3 + 4

Resuelva para y : x – 4 = y 3

Valores de los ángulos 📐

Valores de los ángulos 

En geometría, un ángulo es el espacio entre dos líneas o segmentos de línea con el mismo punto final, o vértice.

 La forma más común de medir ángulos es en grados, donde un círculo completo mide 360 grados. Puedes calcular la medida de un ángulo en un polígono si sabes la forma del polígono y la medida de sus demás ángulos o, en el caso de un triángulo rectángulo, si conoces las medidas de dos de sus lados.

Ángulos en los triángulos:

Es importante saber que tanto la suma de los ángulos internos como los ángulos suplementarios tiene que dar igual a 180°.

Pasos para conocer los valores de los ángulos:

1 Cuenta el número de lados en el polígono.

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Encuentra la medida total de los ángulos en el polígono. 

La fórmula para encontrar la medida total de los ángulos interiores de un polígono es ("n" - 2) x 180, donde "n" es el número de lados (así como el número de ángulos) que el polígono tiene.

• Los ángulos de un triángulo (un polígono de 3 lados) suman 180 grados.
• Los ángulos de un cuadrilátero (un polígono de 4 lados) suman 360 grados.
• Los ángulos de un pentágono (un polígono de 5 lados) suman 540 grados.
• Los ángulos de un hexágono (un polígono de 6 lados) suman 720 grados.
• Los ángulos de un octágono (un polígono de 8 lados) suman 1.080 grados.

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Determina si el polígono es regular.

Un polígono regular es un polígono cuyos lados son todos de la misma longitud y cuyos ángulos tienen la misma medida. Los triángulos equiláteros y los cuadrados son ejemplos de polígonos regulares. 

• Si el polígono es regular, simplemente divide la medida total de sus ángulos entre el número de ángulos. De esta forma, la medida de cada ángulo en un triángulo equilátero es 180/3, o 60 grados, y la medida de cada ángulo en un cuadrado es 360/4, o 90 grados (si bien un rectángulo no es un polígono regular por definición, todos sus ángulos también son ángulos rectos, de 90 grados cada uno).
• Si el polígono no es regular, tienes que saber las medidas de los demás ángulos en el polígono para calcular la medida de un ángulo desconocido. Procede con el siguiente paso.  

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Suma las medidas de los ángulos conocidos del polígono, luego resta esta suma de la medida total de ángulos del polígono.

Y así podemos saber cuales son los valores de nuestros ángulos en los triángulos.

Funciones trigonométricas📐

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectángulo , asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria  (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

 

•    El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. 
•     El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa. 
•     La  tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. 
•     La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

MAPA MENTAL 

Ecuaciones trigonometricas 📐

Es una ecuación en la cual interviene funciones trigonométricas de angulo x y se satisface solo para algunos valores de x.
Las soluciones de una ecuación trigonométrica son los valores del angulo para los que se cumplen la igualdad. Resolver una ecuación trigonométrica es determinar todos los valores posibles de las variables para los cuales se cumplen la igualdad.

 Esquema de apoyo para la resolución de ecuaciones trigonométricas.  

Algunos aspectos que se deben tomar en cuenta:

1. Los procedimientos para resolver las ecuaciones trigonométricas son similares a las utilizadas en la solución de ecuaciones algebraicas.
2. Las ecuaciones trigonométricas tienen infinitas soluciones, debido a que las funciones son periódicas y su solución se puede expresar en  ángulos o radianes.
3. En algunas ocaciones se indican a cual intervalo deben pertenecer las soluciones.

Clasificación:

• Lineales:

se resuelven despejando la función trigonométrica hasta obtener una expresión de la forma f (x)=k luego, para resolver la ecuación se utiliza el concepto de función inversa para determinar los posibles valores de x, siempre teniendo en cuenta el signo de la función y el intervalo en el que deben de estar las soluciones.

Ejemplo:

• Cuadráticas:    

se puede resolver utilizando la factorizacion siempre que sea posible. También se puede resolver de la forma y^2=k. Donde y es una  función trigonométrica y k es la constante.
 Si se utiliza la factorizacion conviene aplicar las siguientes propiedades
si x * y = 0, entonces x = 0 o y = 0.

Ejemplo: